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水素分子

水素分子の電子軌道を中心にブログ発信します。

水素分子の定積分 8 <A|▽|B>

本シリーズの略記号<A|▽|B>は、次の積分です。
この定積分計算は8PRO積分表 Solution 2.8をトラックバックしています。
I-8-1.gif

この定積分は8PRO積分表に解法のページが無いので、数値だけ引用します。
I-8-2.gif
※ただし、この解には疑問があって、8PRO積分表に解法が載ってないので不確かであり、途中までしか解けませんでしたが次のような形になるのではないかと、思ってみたりもしました。
I-8-3b

以上で、双曲線関数を使った重なり積分から始まった8種類の定積分と、双曲線関数を使った同焦点楕円球座標(Prolate Spheroidal Coordinates or Confocal Elliptic Spheroidal Coordinates)のラプラシアンの、8PRO積分表をトラックバックしたシリーズは終了です。

次シリーズからは8PRO積分表を離れ、「水素原子の厳密解」を解いていきます。まず最初に「水素原子の厳密解・2体問題」を予定しています。






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  1. 2013/01/25(金) 19:16:51|
  2. 水素分子の定積分
  3. | トラックバック:0
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水素分子の定積分 7 <AB||BA>

本シリーズの略記号<AB||BA>は、次の積分です。
この定積分計算は8PRO積分表 Solution 2.7をトラックバックしています。

I-7-1.gif

近似解
<AB||BA>は次のMullikenの近似式を使います。
I-7-2.gif

Sには、「水素分子の定積分 1 <AB>重なり積分S」を使います。
I-7-3.gif

<AA||AA>には、「水素分子の定積分 6 <AA||AA>」を使います。
I-7-4.gif

<AB||AB>には、「水素分子の定積分 4-3 <AB||AB>」を使います。
I-7-5.gif

これらを代入すると<AB||BA>はMullikenの近似式より次のように求まります。
I-7-6.gif


直接解
<AB||BA>を直接解くと次のような解になります。 
I-7-7b.gif
[三訂]量子化学入門(下), 化学同人, 米澤貞次郎・永田親義・加藤博史・今村詮・諸熊奎治 共著,p379より引用. 

※積分の略記号は本シリーズに合わせてあります。0.5772は「Eulerの定数」と呼ばれるものです。Ei(-v)は「指数積分」と呼ばれる特殊な高等積分です。

      

少し古い話になりますが1927年、並はずれた頭脳の先生が解いて発表したものです。
この先生が全部解きました。
世界の第1人者です。
本物の先生です。







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  1. 2013/01/25(金) 12:38:48|
  2. 水素分子の定積分
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  4. | コメント:0

水素分子の定積分 5-2 <AA||AB>

水素分子の定積分 5-1 <AA||AB>の続き>>>
この定積分計算は8PRO積分表 Solution 2.5をトラックバックしています。

次にI''2を積分します。
今回は、次の体積素片dτ2を使います。
I-5-2-1.gif

I''2は次のようになります。
I-5-2-2.gif

{}を計算します。
I-5-2-3.gif

積分を計算します。
I-5-2-4.gif
MyLibrary 2-1-1 
I-5-2-5.gif
マイライブラリー2-1-1を、ν→ν2、と置き換えます。
I-5-2-6.gif

もう1個の積分も計算します。
I-5-2-7.gif
MyLibrary 2-1-3
I-5-2-8.gif
マイライブラリー2-1-3を、ν→ν2、と置き換えます。
I-5-2-9.gif

{}に代入します。
I-5-2-10.gif

I''2に代入します。
I-5-2-11.gif

積分を計算します。
I-5-2-12.gif
MyLibrary 1-1-3 
I-5-2-13.gif
マイライブラリー1-1-3を、μ→μ2、α→2α、と置き換えます。
I-5-2-14.gif

もう1個の積分も計算します。
I-5-2-15.gif
MyLibrary 1-1-1 
I-5-2-16.gif
マイライブラリー1-1-1を、μ→μ2、α→2α、と置き換えます。
I-5-2-17.gif

I''2に代入します。
I-5-2-18.gif
I-5-2-19.gif
I-5-2-20.gif
I''2は次のようになります。
I-5-2-21.gif

最後にI''3を積分します。
I-5-2-22.gif
{}を計算します。
I-5-2-23.gif

積分を計算します。
I-5-2-24.gif
MyLibrary 2-1-1 
I-5-2-25.gif
マイライブラリー2-1-1を、ν→ν2、と置き換えます。
I-5-2-26.gif

もう1個の積分も計算します。
I-5-2-27.gif
MyLibrary 2-1-2 
I-5-2-28.gif
マイライブラリー2-1-2を、ν→ν2、と置き換えます。
I-5-2-29.gif

{}に代入します。
I-5-2-30.gif

I''3に代入します。
I-5-2-31.gif

積分を計算します。
I-5-2-32.gif
MyLibrary 1-1-2 
I-5-2-33.gif
マイライブラリー1-1-2を、μ→μ2、α→2α、と置き換えます。
I-5-2-34.gif

もう1個の積分も計算します。
I-5-2-35.gif
MyLibrary 1-1-1 
マイライブラリー1-1-1を、μ→μ2、α→2α、と置き換えます。
I-5-2-36.gif

I''3に代入します。
I-5-2-37.gif
I-5-2-38.gif
I-5-2-39.gif

I''3は次のようになります。
I-5-2-40.gif

I''1 とI''2と I''3を列挙します。
I-5-2-41.gif

Iに代入します。
I-5-2-42.gif
I-5-2-43.gif
I-5-2-44.gif

ゆえに、<AA||AB>は次のようになります>。

I-5-2-45.gif







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  1. 2013/01/24(木) 20:47:30|
  2. 水素分子の定積分
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

水素分子の定積分 5-1 <AA||AB>

本シリーズの略記号<AA||AB>は、次の積分です。
この定積分計算は8PRO積分表 Solution 2.5をトラックバックしています。
I-5-1-1-1.gif

<AA||AB>を求めるには、次のMullikenの近似式を使う方法もあります。
I-5-1-1-2.gif

しかし本シリーズでは、<AA||AB>を積分して求めます。

次の積分Iを求めます。
I-5-1-2.gif

()内の積分をI’とおきます。
I-5-1-3.gif

そしてIは次のようになります。
I-5-1-4.gif

I’は、「水素分子の定積分(4-1)」で次のように既に得られています。
http://dueysew.blog.fc2.com/blog-entry-40.html
I-5-1-5.gif

このI’を代入するとIは次のようになります。
I-5-1-6.gif

このIを電子2で積分します。
I-5-1-7.gif

1.計算前の設定
●座標●
上の積分の式を見ると、核Aと核B、そして電子2の3個です。電子1はありません。ゆえに下のようなXZ平面を考えて座標を設定します。核Aと核Bの核間距離rABはボーン・オッペンハイマー近似より定数とします。
I-5-1-8.gif

●XYZ(デカルト)座標と同焦点楕円球座標との関係
I-5-1-9.gif

●変数の範囲
I-5-1-10.gif

●体積要素
I-5-1-11.gif

●電子軌道
テンプレートの関数には核Aと核Bに同じものを使います。次の規格化された水素原子の1s電子軌道を使います。
I-5-1-12.gif
核A の関数は次のようになる。
I-5-1-13.gif
核B の関数は次のようになります。
I-5-1-14.gif

2.計算
Iを計算します。
I-5-1-15.gif

rA2とrB2を再掲します。
I-5-1-16.gif
rA2+rB2は次のようになります。
I-5-1-17.gif
3rA2+rB2は次のようになります。
I-5-1-18.gif

Iに代入します。
I-5-1-19.gif
rA2は後で代入します。α=rAB/a0とおきます。
I-5-1-20.gif

ここでI''1、I''2、I''3を次のようにおきます。
I-5-1-21.gif

Iは次のようになります。
I-5-1-22.gif

そしてI''1、I''2、I''3を積分します。

I''1を積分します。
I-5-1-23.gif

積分を計算します。
I-5-1-24.gif
MyLibrary 2-3-2 
I-5-1-25.gif
マイライブラリー2-3-2を、μ→μ2、ν→ν2、と置き換えます。
I-5-1-26.gif

I''1に代入します。
I-5-1-27.gif

積分を計算します。
I-5-1-28.gif
MyLibrary 1-1-2
I-5-1-29.gif
マイライブラリー1-1-2を、μ→μ2、と置き換えます。
I-5-1-30.gif

I''1は次のようになります。
I-5-1-31.gif


水素分子の定積分 5-2 へ続く






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  1. 2013/01/24(木) 07:50:24|
  2. 水素分子の定積分
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水素分子の定積分 6 <AA||AA>

本シリーズの略記号<AA||AA>は、次の積分です。
この定積分計算は8PRO積分表 Solution 2.6をトラックバックしています。
I-6-1
次の積分Iを求めます。
I-6-2
()内の積分をI’とおきます。
I-6-3
そして は次のようになります。
I-6-4
I'は、「水素分子の定積分(4-1) 」で次のように既に得られています。
I-6-5
I'を代入すると は次のようになります。
I-6-6

電子2で積分します。
I-6-7

1.計算前の設定
●座標●
上の積分Iの式を見ると、核Aと電子2の2個です。次のような極座標を設定します。
I-6-8
●XYZ(デカルト)座標と極座標との関係
I-6-9
●変数の範囲
I-6-10
●体積要素
I-6-11
●電子軌道
テンプレートの関数には核Aに、次の規格化された水素原子の1s電子軌道を使います。
I-6-12  
核A の電子2の関数は次のようになる。
I-6-13

2.計算
Iに代入します。
I-6-14
α=1/a0とおきます。
I-6-15
ここでI''1、I''2、I''3を次のようにおきます。
I-6-16

Iは次のようになります。
I-6-17

そしてI''1、I''2、I''3を積分します。

I''1を積分します。
I-6-18

積分を計算します。
I-6-19
MyLibrary 3-1-2
I-6-20
マイライブラリー3-1-2をそのまま使います。
I-6-21

I''1は次のようになります。
I-6-22

次にI''2を積分します。
I-6-23

積分を計算します。
I-6-24
MyLibrary 3-1-5 
I-6-25
マイライブラリー3-1-5をそのまま使います。
I-6-26

I''2は次のようになります。
I-6-27

最後にI''3を積分します。 
I-6-28

積分を計算します。
I-6-29
MyLibrary 3-1-4 
I-6-30
マイライブラリー3-1-4をそのまま使います。
I-6-31

I''3は次のようになります。
I-6-32

Iに代入します。
I-6-33

ゆえに、<AA||AA>は次のようになります。    

I-6-34







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